Question

19．若函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1存在唯一的零點x₀，且x₀＜0，則實數(shù)a的取值范圍是（2，+∞）．

Answer 1

分析 （i）當a=0時，f（x）=-3x²+1，令f（x）=0，解得x=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，舍去．
（ii）當a≠0時，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$），令f′（x）=0，解得x=0或$\frac{2}{a}$．對a分類討論：①當a＜0時，由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{a}＜0}\\{f（x）_{min}＜0}\end{array}\right.$；②當a＞0時，由題意可得f（x）_min=$f（\frac{2}{a}）$＞0，解出判定即可．

解答 解：（i）當a=0時，f（x）=-3x²+1，令f（x）=0，解得x=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，函數(shù)f（x）有兩個零點，舍去．
（ii）當a≠0時，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$），令f′（x）=0，解得x=0或$\frac{2}{a}$．
①當a＜0時，$\frac{2}{a}$＜0，當$x＜\frac{2}{a}$或x＞0時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調遞減；當$\frac{2}{a}＜x＜0$時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調遞增．
∴$\frac{2}{a}$是函數(shù)f（x）的極小值點，0是函數(shù)f（x）的極大值點．
∵函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1存在唯一的零點x₀，且x₀＜0，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{a}＜0}\\{f（0）＜0}\end{array}\right.$，無解，舍去．
②當a＞0時，$\frac{2}{a}$＞0，當x＞$\frac{2}{a}$或x＜0時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調遞增；當$0＜x＜\frac{2}{a}$時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調遞減．
∴$\frac{2}{a}$是函數(shù)f（x）的極小值點，0是函數(shù)f（x）的極大值點．
∵函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1存在唯一的零點x₀，且x₀＜0，則$f（\frac{2}{a}）$＞0，即$\frac{8}{{a}^{2}}$-$\frac{12}{{a}^{2}}$+1＞0，a＞0，解得a＞2．
綜上可得：實數(shù)a的取值范圍是（2，+∞）．
故答案為：（2，+∞）．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、函數(shù)的零點，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．