Question

8．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=7，∠BAC=90°，G是△ABC的重心，過G的平面α與BC平行，AB∩α=M，AC∩α=N，則MN=$\frac{2}{3}$$\sqrt{74}$．

Answer 1

分析 利用勾股定理求出BC的長，再由BC∥平面α，得出MN∥BC，結合三角形重心的性質求出MN的值．

解答 解：如圖所示，
△ABC中，AB=5，AC=7，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{{5}^{2}{+7}^{2}}$=$\sqrt{74}$；
又BC∥平面α，AB∩α=M，AC∩α=N，
∴MN∥BC；
又G是△ABC的重心，
∴$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AG}{AD}$=$\frac{2}{3}$，
∴MN=$\frac{2}{3}$BC=$\frac{2}{3}$$\sqrt{74}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$$\sqrt{74}$．

點評 本題考查了勾股定理的應用問題，也考查了空間中的線面平行的應用問題以及三角形的重心性質的應用問題，
是基礎題目．