Question

8．已知△ABC的三邊分別為a，b，c，且其中任意兩邊長(zhǎng)均不相等，若$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$，$\frac{1}{c}$成等差數(shù)列．
（1）比較$\sqrt{\frac{a}}$與$\sqrt{\frac{c}}$的大小，并證明你的結(jié)論；
（2）求證：角B不可能是鈍角．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$，$\frac{1}{c}$成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，整理即可得到結(jié)果；
（2）由等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，表示出b，再利用余弦定理表示出cosB，把表示出的b代入并利用基本不等式判斷cosB的正負(fù)，即可做出判斷．

解答 解：（1）∵a，b，c任意兩邊長(zhǎng)均不相等，若$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$，$\frac{1}{c}$成等差數(shù)列，
∴$\frac{2}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$＞$\frac{2}{\sqrt{ac}}$，即$\frac{1}$＞$\frac{1}{\sqrt{ac}}$，
則$\sqrt{\frac{c}}$＞$\sqrt{\frac{a}}$；
（2）∵$\frac{2}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$，
∴b=$\frac{2ac}{a+c}$，
由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-（\frac{2ac}{a+c}）^{2}}{2ac}$=$\frac{（{a}^{2}+{c}^{2}）（a+c）^{2}-4{a}^{2}{c}^{2}}{2ac（a+c）^{2}}$≥$\frac{2ac•4ac-4{a}^{2}{c}^{2}}{2ac（a+c）^{2}}$=$\frac{4ac-2ac}{（a+c）^{2}}$=$\frac{2ac}{（a+c）^{2}}$＞0，
則B不可能為鈍角．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦定理，以及數(shù)列的應(yīng)用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．