Question

2．已知函數(shù)f（x）=x³-x²-x-a．
（1）求f（x）的極值；
（2）若函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）結(jié)合函數(shù)的極值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）由已知，f'（x）=3x²-2x-1=0，得$x=-\frac{1}{3}$或x=1，
那么，x變化f'（x）與f（x）變化情況表為：

x	$（-∞，-\frac{1}{3}）$	$-\frac{1}{3}$	$（-\frac{1}{3}，1）$	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大值		極小值

因而f（x）的極大值為$f（-\frac{1}{3}）=\frac{5}{27}-a$，f（x）的極小值為f（1）=-1-a；
（2）由（1）若函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
則f（x）的極大值$\frac{5}{27}-a＜0$或f（x）的極小值-1-a＞0，
因而所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a＜-1或或$a＞\frac{5}{27}\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．