Question

【題目】眾所周知的“太極圖”，其形狀如對(duì)稱的陰陽(yáng)兩魚互抱在一起，也被稱為“陰陽(yáng)魚太極圖”．如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”．整個(gè)圖形是一個(gè)圓形．其中黑色陰影區(qū)域在y軸右側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓，給出以下命題：

①在太極圖中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自黑色陰影部分的概率是

②當(dāng)時(shí)，直線y＝ax+2a與白色部分有公共點(diǎn)；

③黑色陰影部分（包括黑白交界處）中一點(diǎn)（x，y），則x+y的最大值為2；

④設(shè)點(diǎn)P（﹣2，b），點(diǎn)Q在此太極圖上，使得∠OPQ＝45°，b的范圍是[﹣2，2]．

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）

A.①④B.①③C.②④D.①②

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據(jù)幾何概型概率計(jì)算，判斷①的周期性.根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，判斷②的正確性.根據(jù)線性規(guī)劃的知識(shí)求得的最大值，由此判斷③的正確性.將轉(zhuǎn)化為過(guò)的兩條切線所成的角大于等于，由此求得的取值范圍，進(jìn)而求得的取值范圍，從而判斷出④的正確性.

對(duì)于①，將y軸右側(cè)黑色陰影部分補(bǔ)到左側(cè)，即可知黑色陰影區(qū)域占圓的面積的一半，

根據(jù)幾何概型的計(jì)算公式，所以在太極圖中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自黑色陰影部分的概率是，正確；

對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，直線,過(guò)點(diǎn)，所以直線與白色部分在第I和第IV象限部分沒有公共點(diǎn).圓的圓心為，半徑為，圓心到直線，即直線的距離為，所以直線與白色部分在第III象限的部分沒有公共點(diǎn).綜上所述，直線y＝ax+2a與白色部分沒有公共點(diǎn)，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，設(shè)l：z＝x+y，由線性規(guī)劃知識(shí)可知，當(dāng)直線l與圓x2+（y﹣1）2＝1相切時(shí)，z最大，

由解得z（舍去），③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，要使得∠OPQ＝45°，即需要過(guò)點(diǎn)P的兩條切線所成角大于等于，

所以，即OP≤2，于是22+b2≤8，解得．

故選：A