Question

2．拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F₁，焦點(diǎn)為F₂，以F₁、F₂為焦點(diǎn)，離心率e=$\frac{1}{2}$的橢圓C₂與拋物線C₁的一個(gè)交點(diǎn)為P，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為$\frac{2}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程和拋物線的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F₂的直線與橢圓C₂相交于A、B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{F}_{2}A}$，試求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （I）F₁（-m，0），F(xiàn)₂（m，0），設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．由${y}^{2}=4m×\frac{2}{3}$，解得P$（\frac{2}{3}，\frac{2\sqrt{2}m}{3}）$．利用2a=$\sqrt{（\frac{2}{3}+m）^{2}+\frac{8m}{3}}$+$\sqrt{（\frac{2}{3}-m）^{2}+\frac{8m}{3}}$，及其$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，c=m，聯(lián)立解出即可得出．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：y=k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立化為：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{F}_{2}A}$，解出k即可得出．

解答 解：（I）F₁（-m，0），F(xiàn)₂（m，0），設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
由${y}^{2}=4m×\frac{2}{3}$，解得y=$±\frac{2\sqrt{2}m}{3}$，取P$（\frac{2}{3}，\frac{2\sqrt{2}m}{3}）$．
則2a=$\sqrt{（\frac{2}{3}+m）^{2}+\frac{8m}{3}}$+$\sqrt{（\frac{2}{3}-m）^{2}+\frac{8m}{3}}$，化為：
與$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，c=m，聯(lián)立解得a=2，m=1=c，b²=3．
∴橢圓的方程和拋物線的方程分別為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；y²=4x．
（II）F₂（1，0）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：y=k（x-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{F}_{2}A}$，∴x₂-1=-$\frac{1}{2}（{x}_{1}-1）$．
聯(lián)立解得k=$±\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴直線AB的方程為：y=$±\frac{\sqrt{5}}{2}$（x-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．