Question

2．如圖所示：三角形ABC是邊長為2的等邊三角形，PA⊥平面ABC，PA=3，D是BC的中點，
（1）求證：BC⊥平面PDA；
（2）求二面角P-BC-A的大�。�

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AD⊥BC，PA⊥BC，由此能證明BC⊥平面PAD．
（2）推導(dǎo)出AD⊥BC，PA⊥AB，PA⊥AC，PD⊥BC，從而∠PDA即是二面角P-BC-A的平面角，由此能求出二面角P-BC-A的大�。�

解答 證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，D是BC的中點，
∴AD是△ABC的中線、角平分線和高線，∴AD⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
∵BC⊥PA，BC⊥AD，PA∩AD=A，
∴BC⊥平面PAD
解：（2）由（1）知AD⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，
∵AB=AC，PB²=PA²+AB²，PC²=PA²+AC²，
∴PB=PC，∴△PBC是等腰三角形，
∵D是BC的中點，∴PD是△PBC的中線、角平分線和高線，
∴PD⊥BC，∴∠PDA即是二面角P-BC-A的平面角，
AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\sqrt{3}$，PA=3，
tan∠PDA=$\frac{PA}{AD}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，∴∠PDA=60°，
∴二面角P-BC-A的大小為60°．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．