Question

給定曲線Γ：（5-m）x²+（m-2）y²=8，（m∈R）．
（1）若曲線Γ是焦點為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）的雙曲線，求實數(shù)m的值；
（2）當m=4時，記M是橢圓Γ上的動點，過橢圓長軸的端點A作AQ∥QM（O為坐標原點），交橢圓于Q，交y軸于P，求

AQ•AP

OM2

的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）曲線�；癁闃藴史匠痰�

x2

8 5-m

-

y2

8 2-m

=1，由此利用雙曲線的簡單性質能求出m的值．
（2）當m=4時，曲線Γ：x²+2y²=8，此時A（-2

2

，0），由

y=kx x2+2y2=8

，得：x2=

8

1+2k2

，由此利用韋達定理結合題設條件能求出

AQ•AP

OM2

的值．

解答： 解：（1）∵曲線Γ：（5-m）x²+（m-2）y²=8，（m∈R），
化簡得

x2

8 5-m

-

y2

8 2-m

=1，…（2分）
由題意得a2=

8

5-m

，b2=

8

2-m

，且m＜2，…（3分）
又∵c=2，∴

8

5-m

+

8

2-m

=4，解得m=-1，或m=4（舍）…（5分）
∴m=-1．…（6分）
（2）當m=4時，曲線Γ：x²+2y²=8，此時A（-2

2

，0），…（7分）
設直線OM方程為y=kx，
由

y=kx x2+2y2=8

，得：x2=

8

1+2k2

，
即xM2=

8

1+2k2

，…（8分）
∴OM²=xM2+yM2=x_M²+（kx_M）²=

8(1+k2)

1+2k2

，…（10分）
∵AQ∥OM，∴AQ方程為：y=k（x+2

2

），
于是P（o，2

2

k），AP=

(-2 2 )2+(2 2 k)2

=2

2

•

1+k2

，…（11分）
由

y=k(x+2 2 ) x2+2y2=8

，得：（1+2k²）x²+8

2

k²x+16k²-8=0，
從而AQ=

1+k2

•

(8 2 k2)2-4(2+2k2)(16k2-8)

1+2k2

=

1+k2

•

4 2

1+2k2

．…（13分）
∴

AQ•AP

OM2

=

1+k2 • 4 2 1+2k2 •2 2 • 1+k2

8(1+k2) 1+2k2

=2．…（14分）

點評：本題考查雙曲線中參數(shù)的求法，考查橢圓中線段比值的求法，綜合性強，難度大，解題時要注意韋達定理的合理運用．