Question

19．一個圓錐被過頂點的平面截去了較小的一部分幾何體，余下的幾何體的三視圖如圖，則余下部分的幾何體的體積為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$π
• B． $\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$π
• C． $\sqrt{2}$+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$π
• D． 2$\sqrt{2}$+3$\sqrt{2}$π

Answer 1

分析 由三視圖求出圓錐的高和底面半徑，再求出截去的底面弧的圓心角，由扇形面積公式求出底面剩余部分的面積，代入錐體體積公式計算可得答案．

解答 解：由三視圖得，圓錐底面半徑為r=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
圓錐的高h=$\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
由俯視圖和側視圖可得：
截去的底面弧的圓心角α=2×$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
底面剩余部分的面積S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}+\frac{1}{2}×\frac{3π}{2}×（\sqrt{2}）^{2}$=1+$\frac{3π}{2}$，
所以幾何體的體積為：V=$\frac{1}{3}$Sh=$\frac{1}{3}$×（1+$\frac{3π}{2}$）×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}π$，
故選：A．

點評 本題考查三視圖求幾何體的體積，由三視圖正確復原幾何體是解題的關鍵，考查空間想象能力．