Question

5．已知函數$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}（{a∈R}）$．
（Ⅰ）若f（x）在點（2，f（2））處的切線與直線x-2y+1=0垂直，求實數a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）討論函數f（x）在區(qū)間[1，e²]上零點的個數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數f（x）的導數，$\frac{1}{2}$×$\frac{1-4a}{2}$=-1，求出a的值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可；
（Ⅲ）法一：求出g（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；
法二：通過討論a的范圍結合函數的單調性求出端點值和極值，求出函數的零點個數即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），
∵f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax=$\frac{1-{ax}^{2}}{x}$，
∵只需x-2y+1=0的斜率是$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{1-4a}{2}$=-1，
∴a=$\frac{5}{4}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=$\frac{1-{ax}^{2}}{x}$，
當a≤0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）遞增，
a＞0時，由f′（x）＞0，得x＜$\sqrt{\frac{1}{a}}$，由f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{\frac{1}{a}}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{\frac{1}{a}}$）遞增，在（$\sqrt{\frac{1}{a}}$，+∞）等價，
綜上，當a≤0時，函數f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞），
a＞0時，函數f（x）的遞增區(qū)間是（0，$\sqrt{\frac{1}{a}}$），遞減區(qū)間是（$\sqrt{\frac{1}{a}}$，+∞），
（Ⅲ）法一：由f（x）=0，得a=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$，
令g（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$，則g′（x）=$\frac{2-4lnx}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0得，1＜x＜$\sqrt{e}$，由g′（x）＜0，得$\sqrt{e}$＜x＜e²，
∴g（x）在區(qū)間[1，$\sqrt{e}$]遞增，在區(qū)間[$\sqrt{e}$，e²]遞減，
又∵g（1）=0，g（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{e}$，g（e²）=$\frac{4}{{e}^{4}}$，
∴當0≤a＜$\frac{4}{{e}^{4}}$或a=$\frac{1}{e}$時，f（x）在[1，e²]上有一個零點，
當$\frac{4}{{e}^{4}}$≤a＜$\frac{1}{e}$時，f（x）在[1，e²]上有2個零點，
當a＜0或a＞$\frac{1}{e}$時，f（x）在[1，e²]上沒有零點；
法二：由（Ⅱ）可知：
當a＜0時，f（x）在[1，e²]遞增，∵f（1）=-$\frac{1}{2}$a＞0，
∴f（x）在[1，e²]上有一個零點，
當a＞0時，
①若$\sqrt{\frac{1}{a}}$≤1，即a≥1時，f（x）在[1，e²]遞減，
∵f（1）=-$\frac{1}{2}$a＜0，∴f（x）在[1，e²]上沒有零點；
②若1＜$\sqrt{\frac{1}{a}}$＜e²，即$\frac{1}{{e}^{4}}$＜a＜1時，f（x）在[1，$\sqrt{\frac{1}{a}}$]上遞增，在[$\sqrt{\frac{1}{a}}$，e²]遞減，
∵f（1）=-$\frac{1}{2}$a＜0，f（$\sqrt{\frac{1}{a}}$）=-$\frac{1}{2}$lna-$\frac{1}{2}$，f（e²）=2-$\frac{1}{2}$ae⁴，
若-$\frac{1}{2}$lna-$\frac{1}{2}$＜0，即a＞$\frac{1}{e}$時，f（x）在[1，e²]上沒有零點，
若-$\frac{1}{2}$lna-$\frac{1}{2}$=0，即a=$\frac{1}{e}$時，f（x）在[1，e²]上有一個零點，
若$\frac{1}{2}$lna-$\frac{1}{2}$＞0，即a＜$\frac{1}{e}$時，由f（e²）=2-$\frac{1}{2}$ae⁴＞0得a＜$\frac{4}{{e}^{4}}$，此時f（x）在[1，e²]有一個零點，
由f（e²）=2-$\frac{1}{2}$ae⁴≤0，得a≥$\frac{4}{{e}^{4}}$，此時在[1，e²]上有2個零點，
③若$\sqrt{\frac{1}{a}}$≥e²，即0＜a≤$\frac{1}{{e}^{4}}$時，f（x）在[1，e²]單調遞增，
∵f（1）=-$\frac{1}{2}$a＜0，f（e²）=2-$\frac{1}{2}$ae⁴＞0，
∴f（x）在[1，e²]上有1個零點，
綜上，當0≤a＜$\frac{4}{{e}^{4}}$或a=$\frac{1}{e}$時，f（x）在[1，e²]上有1個零點；
當$\frac{4}{{e}^{4}}$≤a＜$\frac{1}{e}$時，f（x）在[1，e²]上有2個零點，
當a＜0或a＞$\frac{1}{e}$時，f（x）在[1，e²]沒有零點，
（法三：本題還可以轉化為lnx=$\frac{1}{2}$ax²，再轉化為y=lnx與y=$\frac{1}{2}$ax²的圖象的交點個數問題，
可用數形結合的方法求解）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道綜合題．