Question

設函數(shù)f（x）=1-e^-x，證明：當x＞-1時，f（x）≥

x

x+1

．

Answer 1

分析：把給出的不等式f（x）≥

x

x+1

等價變形，然后構造函數(shù)，求出函數(shù)的導函數(shù)，利用導函數(shù)的符號判斷原函數(shù)的單調性，從而求出最小值，原不等式得到證明．

解答：證明：由1-e-x≥

x

x+1

?e^x≥1+x．
當x＞-1時，f（x）≥

x

x+1

當且僅當e^x≥1+x．
令g（x）=e^x-x-1，則g′（x）=e^x-1．
當x≥0時，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
當x≤0時，g′（x）≤0，g（x）在（-∞，0]上為減函數(shù)，
于是g（x）在x=0處達到最小值，因而當x∈R時g（x）≥g（0），
即e^x≥1+x．
所以當x＞-1時，f（x）≥

x

x+1

．

點評：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了數(shù)學轉化思想方法，考查了函數(shù)構造法，是中檔題．