Question

當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，函數(shù)N（n）表示n的最大奇因數(shù)，如N（3）=3，N（10）=5，…，設(shè)S_n=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（2ⁿ-1）+N（2ⁿ），則S_n=

 

．

Answer 1

分析：由N（x）的性質(zhì)可得知，當(dāng)x是奇數(shù)時(shí)，x的最大奇數(shù)因子明顯是它本身．因此N（x）=x，進(jìn)而可得，奇數(shù)項(xiàng)的和；當(dāng)x是偶數(shù)時(shí)，可利用數(shù)學(xué)歸納法推斷出偶數(shù)項(xiàng)的和．因此由這樣一個(gè)性質(zhì)，我們就可將S_n進(jìn)行分解，分別算出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和進(jìn)而相加．

解答：解：由N（x）的性質(zhì)可得知，當(dāng)x是奇數(shù)時(shí)，x的最大奇數(shù)因子明顯是它本身．因此N（x）=x，當(dāng)x是偶數(shù)時(shí)，參看下面的討論，
因此由這樣一個(gè)性質(zhì)，我們就可將S_n進(jìn)行分解，分別算出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和進(jìn)而相加，即S_n=S_奇+S_偶，
∴S_奇=N（1）+N（3）+…+N（2ⁿ-1）=1+3+…2ⁿ-1=

1+2n-1

2

× 2n-1=4^n-1
當(dāng)x是偶數(shù)時(shí)，且x∈[2^k，2^k+1）①當(dāng)k=1時(shí)，x∈[2，4）該區(qū)間包含的偶數(shù)只有2，而N（2）=1所以該區(qū)間所有的偶數(shù)的最大奇因數(shù)之和為T(mén)₁=1
②當(dāng)k=2時(shí)，x∈[4，8），該區(qū)間包含的偶數(shù)為4，6，所以該區(qū)間所有的最大奇因數(shù)偶數(shù)之和為T(mén)₂=1+3=4
③當(dāng)k=3時(shí)，x∈[8，16），該區(qū)間包含的偶數(shù)為8，10．，12，14，則該區(qū)間所有偶數(shù)的最大奇因數(shù)之和為T(mén)₃=1+3+5+7=16，因此我們可以用數(shù)學(xué)歸納法得出當(dāng)x∈[2^k，2^k+1）該區(qū)間所有偶數(shù)的最大奇因數(shù)和T_k=4^k-1．
∴對(duì)k從1到n-1求和得T₁+T₂+…+T_n-1=

4n-1-1

3

∴S_偶=T₁+T₂+…+T_n-1+N（2ⁿ）=

4n-1+2

3

綜上可知S_n=S_奇+S_偶=4^n-1+

4n-1+2

3

=

4n+2

3

故答案為

4n+2

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的求和問(wèn)題．考查了學(xué)生通過(guò)已知條件分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．