Question

當(dāng)n為正整數(shù)時，函數(shù)N（n）表示n的最大奇因數(shù)，如N（3）=3，N（10）=5，…，設(shè)S_n=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（2ⁿ-1）+N（2ⁿ），則S_n=    ．

Answer 1

【答案】分析：由N（x）的性質(zhì)可得知，當(dāng)x是奇數(shù)時，x的最大奇數(shù)因子明顯是它本身．因此N（x）=x，進而可得，奇數(shù)項的和；當(dāng)x是偶數(shù)時，可利用數(shù)學(xué)歸納法推斷出偶數(shù)項的和．因此由這樣一個性質(zhì)，我們就可將S_n進行分解，分別算出奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和進而相加．
解答：解：由N（x）的性質(zhì)可得知，當(dāng)x是奇數(shù)時，x的最大奇數(shù)因子明顯是它本身．因此N（x）=x，當(dāng)x是偶數(shù)時，參看下面的討論，
因此由這樣一個性質(zhì)，我們就可將S_n進行分解，分別算出奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和進而相加，即S_n=S_奇+S_偶，
∴S_奇=N（1）+N（3）+…+N（2ⁿ-1）=1+3+…2ⁿ-1==4^n-1
當(dāng)x是偶數(shù)時，且x∈[2^k，2^k+1）①當(dāng)k=1時，x∈[2，4）該區(qū)間包含的偶數(shù)只有2，而N（2）=1所以該區(qū)間所有的偶數(shù)的最大奇因數(shù)之和為T₁=1
②當(dāng)k=2時，x∈[4，8），該區(qū)間包含的偶數(shù)為4，6，所以該區(qū)間所有的最大奇因數(shù)偶數(shù)之和為T₂=1+3=4
③當(dāng)k=3時，x∈[8，16），該區(qū)間包含的偶數(shù)為8，10．，12，14，則該區(qū)間所有偶數(shù)的最大奇因數(shù)之和為T₃=1+3+5+7=16，因此我們可以用數(shù)學(xué)歸納法得出當(dāng)x∈[2^k，2^k+1）該區(qū)間所有偶數(shù)的最大奇因數(shù)和T_k=4^k-1．
∴對k從1到n-1求和得T₁+T₂+…+T_n-1=
∴S_偶=T₁+T₂+…+T_n-1+N（2ⁿ）=
綜上可知S_n=S_奇+S_偶=4^n-1+=
故答案為
點評：本題主要考查了數(shù)列的求和問題．考查了學(xué)生通過已知條件分析問題和解決問題的能力．