Question

設(shè)直線l過點P（0，3），和橢圓

x2

9

+

y2

4

=1交于A、B兩點（A在B上方），試求

|AP|

|PB|

的取值范圍

[

1

5

，1)

．

Answer 1

分析：當(dāng)直線l的斜率不存在時，A點坐標(biāo)為（0，2），B點坐標(biāo)為（0，-2），這時

|AP|

|PB|

=

1

5

．當(dāng)直線l斜率為k時，直線l方程為y=kx+3，設(shè)A點坐標(biāo)為（x₁，y₁），B點坐標(biāo)為（x₂，y₂），則向量AP=（-x₁，3-y₁），向量PB=（x₂，y₂-3），所以

|AP|

|PB|

=

x1

x2

，因為直線y=kx+3與橢圓有兩個交點，且它們的橫坐標(biāo)不同，把y=kx+3代入

x2

9

+

y2

4

=1后的一元二次方程（9k²+4）x²+54k+45=0的判別式（54k）²-4（9k²+4）×45＞0，所以k＞

5

3

3或k＜-

5

3

．由此入手能夠求出

|AP|

|PB|

的范圍．

解答：解：當(dāng)直線l的斜率不存在時，A點坐標(biāo)為（0，2），B點坐標(biāo)為（0，-2），這時

|AP|

|PB|

=

1

5

．
當(dāng)直線l斜率為k時，直線l方程為y=kx+3，
設(shè)A點坐標(biāo)為（x₁，y₁），B點坐標(biāo)為（x₂，y₂），則向量AP=（-x₁，3-y₁），向量PB=（x₂，y₂-3），
所以

|AP|

|PB|

=

x1

x2

，
因為直線y=kx+3與橢圓有兩個交點，且它們的橫坐標(biāo)不同，
把y=kx+3代入

x2

9

+

y2

4

=1后的一元二次方程（9k²+4）x²+54k+45=0的判別式（54k）²-4（9k²+4）×45＞0，
所以k＞

5

3

3或k＜-

5

3

，
設(shè)

x1

x2

=λ，則x₁=λx₂，
因為x₁+x₂=-

54k

9k2+4

，x₁x₂=

45

9k2+4

，
所以（1+λ）x₂═-

54k

9k2+4

，，（1）
λx₂²=

45

9k2+4

，（2）
顯然λ不等于1，解得0＜λ＜1．
綜上所述

|AP|

|PB|

的范圍是[

1

5

，1）．
故答案為：[

1

5

，1）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．