Question

設直線l過點P（0，3），和橢圓交于A、B兩點（A在B上方），試求的取值范圍    ．

Answer 1

【答案】分析：當直線l的斜率不存在時，A點坐標為（0，2），B點坐標為（0，-2），這時=．當直線l斜率為k時，直線l方程為y=kx+3，設A點坐標為（x₁，y₁），B點坐標為（x₂，y₂），則向量AP=（-x₁，3-y₁），向量PB=（x₂，y₂-3），所以=，因為直線y=kx+3與橢圓有兩個交點，且它們的橫坐標不同，把y=kx+3代入后的一元二次方程（9k²+4）x²+54k+45=0的判別式（54k）²-4（9k²+4）×45＞0，所以k＞3或k＜-．由此入手能夠求出的范圍．
解答：解：當直線l的斜率不存在時，A點坐標為（0，2），B點坐標為（0，-2），這時=．
當直線l斜率為k時，直線l方程為y=kx+3，
設A點坐標為（x₁，y₁），B點坐標為（x₂，y₂），則向量AP=（-x₁，3-y₁），向量PB=（x₂，y₂-3），
所以=，
因為直線y=kx+3與橢圓有兩個交點，且它們的橫坐標不同，
把y=kx+3代入后的一元二次方程（9k²+4）x²+54k+45=0的判別式（54k）²-4（9k²+4）×45＞0，
所以k＞3或k＜-，
設=λ，則x₁=λx₂，
因為x₁+x₂=-，x₁x₂=，
所以（1+λ）x₂═-，，（1）
λx₂²=，（2）
顯然λ不等于1，解得0＜λ＜1．
綜上所述的范圍是[）．
故答案為：[）．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．