Question

11．設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是不共線的兩個(gè)非零向量．
（1）若$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OB}$=3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$，求證：A、B、C三點(diǎn)共線；
（2）設(shè)$\overrightarrow{OM}$=m$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{ON}$=n$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OP}$=α$\overrightarrow{a}$+β$\overrightarrow$，其中m，n，α，β均為實(shí)數(shù)，m≠0，n≠0，若M、P、N三點(diǎn)共線，求證：$\frac{α}{m}$+$\frac{β}{n}$=1．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{AB}$=-2$\overrightarrow{AB}$，即可證明．
（2）由M、P、N三點(diǎn)共線，可得：存在實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow{MP}$=$λ\overrightarrow{PN}$，化為：$\overrightarrow{OP}$=$\frac{m}{1+λ}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{λn}{1+λ}$$\overrightarrow$，由$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是不共線的兩個(gè)非零向量，即可得出．

解答 證明：（1）∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）-（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$，
$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）-（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=-2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$=-2$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$共線，
∵有公共端點(diǎn)B．
∴A、B、C三點(diǎn)共線．
（2）∵M(jìn)、P、N三點(diǎn)共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow{MP}$=$λ\overrightarrow{PN}$，
∴$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}$=λ$（\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OP}）$，
解得$\overrightarrow{OP}$=$\frac{m}{1+λ}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{λn}{1+λ}$$\overrightarrow$，
∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是不共線的兩個(gè)非零向量．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{α=\frac{m}{1+λ}}\\{β=\frac{λn}{1+λ}}\end{array}}\right.$，
∴$\frac{α}{m}+\frac{β}{n}=\frac{1}{1+λ}+\frac{λ}{1+λ}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．