Question

2．已知定義域為（0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：（1）對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當(dāng)x∈（1，2]時，f（x）=2-x．
給出如下結(jié)論：
①對任意m∈Z，有f（2^m）=0；
②函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2ⁿ+1）=9；
正確的有（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②
• C． ①③
• D． ②③

Answer 1

分析 依據(jù)題中條件注意研究每個選項的正確性，連續(xù)利用題中第（1）個條件得到①正確；連續(xù)利用題中第（3）個條件得到②正確；利用反證法及2^x變化如下：2，4，8，16，32，判斷③命題錯誤；

解答 解：①f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2）=0，正確；
②取x∈（2^m，2^m+1），
則 $\frac{x}{{2}^{m}}$∈（1，2]；f（$\frac{x}{{2}^{m}}$）=2-$\frac{x}{{2}^{m}}$，
f（$\frac{x}{2}$）=…=2^mf（$\frac{x}{{2}^{m}}$）=2^m+1-x
從而f（x）∈[0，+∞），正確
③f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1，假設(shè)存在n使f（2ⁿ+1）=9，
即存在x₁，x₂，2^x₁-2^x₂=10，
又∵2^x變化如下：2，4，8，16，32，顯然不存在滿足條件的x₁，x₂，所以該命題錯誤；
綜合有正確的序號是①②．
故選：B．

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的值，函數(shù)的值域，全稱命題和特稱命題，難度中檔．