Question

1．已知（$\root{3}{{x}^{2}}$+3x）ⁿ展開式各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大992．
（1）求展開式中含有x⁴的項；
（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；
（3）求展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析 （1）先求出n，再利用通項公式求展開式中含有x⁴的項；
（2）展開式共6項，二項式系數(shù)最大項為第三、四項，即可求展開式中二項式系數(shù)最大的項；
（3）展開式中第k+1項系數(shù)最大，建立不等式組，即可求展開式中系數(shù)最大的項．

解答 解：令x=1得展開式各項系數(shù)和為4ⁿ，二項式系數(shù)為$C_n^0+C_n^1+…+C_n^n={2^n}$，
由題意得：4ⁿ-2ⁿ=992，解得n=5…（2分）
（1）${T_{r+1}}=C_5^r{3^r}•{x^{\frac{10+r}{3}}}$
當(dāng)$\frac{10+r}{3}=4⇒r=2$，∴${T_3}=C_5^2•{3^2}•{x^4}=90{x^4}$．…（4分）
（2）∵n=5，∴展開式共6項，二項式系數(shù)最大項為第三、四項，
∴${T_3}=C_5^2•{3^2}•{x^4}=90{x^4}$，${T_4}=C_5^3•{3^3}•{x^{\frac{13}{3}}}=270{x^{\frac{13}{3}}}$…..（8分）
（3）展開式中第k+1項系數(shù)最大，
∴$\left\{\begin{array}{l}C_5^k•{3^k}≥C_5^{k-1}•{3^{k-1}}\\ C_5^k•{3^k}≥C_5^{k+1}•{3^{k+1}}\end{array}\right.⇒\frac{7}{2}≤k≤\frac{9}{2}，k∈8$，k∈N．
∴k=4，
∴${T_5}=C_5^4•{3^4}•{x^{\frac{14}{3}}}$=$405{x^{\frac{14}{3}}}$…（12分）

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．