【題目】給定整數(shù)，數(shù)列、、、每項(xiàng)均為整數(shù)，在中去掉一項(xiàng)，并將剩下的數(shù)分成個(gè)數(shù)相同的兩組，其中一組數(shù)的和與另外一組數(shù)的和之差的最大值記為. 將、、、中的最小值稱為數(shù)列的特征值.

（Ⅰ）已知數(shù)列、、、、，寫出、、的值及的特征值；

（Ⅱ）若，當(dāng)，其中、且時(shí)，判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（Ⅲ）已知數(shù)列的特征值為，求的最小值.

【答案】（Ⅰ）；；.的特征值為；（Ⅱ），理由見(jiàn)解析；（Ⅲ）最小值為.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題中的定義可求出、、的值及的特征值；

（Ⅱ）分、和、兩種情況討論，結(jié)合題中定義可證明出；

（Ⅲ）設(shè)，利用（Ⅱ）中的結(jié)論，結(jié)合數(shù)列的特征值為，可得出，并證明出，即可求出的最小值.

（Ⅰ）由題知：，，，

的特征值為；

（Ⅱ）.

理由如下：由于，可分下列兩種情況討論：

當(dāng)、時(shí)，

根據(jù)定義可知：，

同理可得：.

所以，所以.

當(dāng)、時(shí)，同理可得：

，

所以，所以.

綜上有：；

（Ⅲ）不妨設(shè)，

，

顯然，，

.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；

由（Ⅱ）可知、的較小值為，

所以.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列，其特征值為，不符合題意，則必有

.

下證：若，，總有.

證明：

.

所以.

因此

.

當(dāng)時(shí)，可取到最小值，符合題意.

所以的最小值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)也已經(jīng)逐漸融入了人們的日常生活，網(wǎng)購(gòu)作為一種新的消費(fèi)方式，因其具有快捷、商品種類齊全、性價(jià)比高等優(yōu)勢(shì)而深受廣大消費(fèi)者認(rèn)可.某網(wǎng)購(gòu)公司統(tǒng)計(jì)了近五年在本公司網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)，得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次類推；y表示人數(shù))：

x

1

2

3

4

5

y(萬(wàn)人)

20

50

100

150

180

（1）試根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)到哪一年該公司的網(wǎng)購(gòu)人數(shù)能超過(guò)300萬(wàn)人；

（2）該公司為了吸引網(wǎng)購(gòu)者，特別推出“玩網(wǎng)絡(luò)游戲，送免費(fèi)購(gòu)物券”活動(dòng)，網(wǎng)購(gòu)者可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn). 若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”，則網(wǎng)購(gòu)者可獲得免費(fèi)購(gòu)物券500元；若遙控車最終停在“失敗大本營(yíng)”，則網(wǎng)購(gòu)者可獲得免費(fèi)購(gòu)物券200元. 已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格，網(wǎng)購(gòu)者每拋擲一次骰子，遙控車向前移動(dòng)一次.若擲出奇數(shù)，遙控車向前移動(dòng)一格（從到）若擲出偶數(shù)遙控車向前移動(dòng)兩格（從到），直到遙控車移到第19格勝利大本營(yíng)）或第20格（失敗大本營(yíng)）時(shí)，游戲結(jié)束。設(shè)遙控車移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求網(wǎng)購(gòu)者參與游戲一次獲得免費(fèi)購(gòu)物券金額的期望值.

附：在線性回歸方程中，.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若，求函數(shù)的最值；

（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)， （）.

（1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)與的圖象在處有相同的切線，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意和任意，總存在不相等的正實(shí)數(shù)，使得，求的最小值；

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)與的圖象交于 兩點(diǎn)．求證： .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知無(wú)窮數(shù)列{an}（an∈Z）的前n項(xiàng)和為Sn，記S1，S2，…，Sn中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為bn．

（1）若an=n，請(qǐng)寫出數(shù)列{bn}的前5項(xiàng)；

（2）求證：“a1為奇數(shù)，ai（i=2，3，4，…）為偶數(shù)”是“數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列”的充分不必要條件；

（3）若ai=bi，i=1，2，3，…，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點(diǎn)，則的取值范圍是__.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）

A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如果存在常數(shù)a，使得數(shù)列{an}滿足：若x是數(shù)列{an}中的一項(xiàng)，則a-x也是數(shù)列{an}中的一項(xiàng)，稱數(shù)列{an}為“兌換數(shù)列”，常數(shù)a是它的“兌換系數(shù)”．

（1）若數(shù)列：2，3，6，m（m＞6）是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”，求m和a的值；

（2）已知有窮等差數(shù)列{bn}的項(xiàng)數(shù)是n0（n0≥3），所有項(xiàng)之和是B，求證：數(shù)列{bn}是“兌換數(shù)列”，并用n0和B表示它的“兌換系數(shù)”；

（3）對(duì)于一個(gè)不少于3項(xiàng)，且各項(xiàng)皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列{cn}，是否有可能它既是等比數(shù)列，又是“兌換數(shù)列”？給出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案