Question

【題目】如果存在常數(shù)a，使得數(shù)列{an}滿足：若x是數(shù)列{an}中的一項(xiàng)，則a-x也是數(shù)列{an}中的一項(xiàng)，稱數(shù)列{an}為“兌換數(shù)列”，常數(shù)a是它的“兌換系數(shù)”．

（1）若數(shù)列：2，3，6，m（m＞6）是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”，求m和a的值；

（2）已知有窮等差數(shù)列{bn}的項(xiàng)數(shù)是n0（n0≥3），所有項(xiàng)之和是B，求證：數(shù)列{bn}是“兌換數(shù)列”，并用n0和B表示它的“兌換系數(shù)”；

（3）對于一個不少于3項(xiàng)，且各項(xiàng)皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列{cn}，是否有可能它既是等比數(shù)列，又是“兌換數(shù)列”？給出你的結(jié)論，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=9，m=7；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）利用“兌換數(shù)列”的定義得到a-m=2，a-6=3，即a=9，m=7．（2）利用“兌換數(shù)列”的定義可證明數(shù)列{bn}是“兌換數(shù)列”， 又因?yàn)閿?shù)列{bn}所有項(xiàng)之和是B，所以B==，即a=；（3）假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列{cn}，設(shè)它的公比為q（q＞1），通過推理得到q=1，與q＞1矛盾，故不存在滿足條件的數(shù)列{cn}．

（1）解：因?yàn)?/span>2，3，6，m（m＞6）是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”

所以a-m，a-6，a-3，a-2也是該數(shù)列的項(xiàng)，且a-m＜a-6＜a-3＜a-2，

故a-m=2，a-6=3，即a=9，m=7．

（2）證明：設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，

因?yàn)閿?shù)列{bn}是項(xiàng)數(shù)為n0項(xiàng)的有窮等差數(shù)列

若b1≤b2≤b3≤…≤，則a-b1≥a-b2≥a-b3≥…≥a-，

即對數(shù)列{bn}中的任意一項(xiàng)bi（1≤i≤n0），a-bi=b1+（n0-i）d=+1-i∈{bn}

同理可得：b1≥b2≥b3≥…≥，a-bi=b1+（n0-i）d=+1-i∈{bn}也成立，

由“兌換數(shù)列”的定義可知，數(shù)列{bn}是“兌換數(shù)列”；

又因?yàn)閿?shù)列{bn}所有項(xiàng)之和是B，所以B==，即a=；

（3）解：假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列{cn}，設(shè)它的公比為q（q＞1），

因?yàn)閿?shù)列{cn}為遞增數(shù)列，所以c1＜c2＜c3＜…＜cn，則a-c1＞a-c2＞a-c3＞…＞a-cn，

又因?yàn)閿?shù)列{cn}為“兌換數(shù)列”，則a-ci∈{cn}，所以a-ci是正整數(shù)

故數(shù)列{cn}必為有窮數(shù)列，不妨設(shè)項(xiàng)數(shù)為n項(xiàng)，則ci+cn+1-i=a（1≤i≤n）

①若n=3，則有c1+c3=a，c2=，又c22=c1c3，由此得q=1，與q＞1矛盾

②若n≥4，由c1+cn=c2+cn-1，得c1-c1q+c1qn-1-c1qn-2=0

即（q-1）（1-qn-2）=0，故q=1，與q＞1矛盾；

綜合①②得，不存在滿足條件的數(shù)列{cn}．