Question

有定點P（6，4）及定直線l：y=4x，點Q是l上在第一象限內的點，PQ交x軸的正半軸于點M，
（1）當P點平分線段MQ時，求直線MQ的方程；
（2）當△OMQ是以OM為底的等腰三角形時求出Q點坐標；
（3）點Q在什么位置時，△OMQ的面積最小，并求出最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設點M（m，0），則M點關于P點對稱點為（12-m，8），由題可知，點（12-m，8）必在直線l上，由此能求出直線MQ方程．
（2）設點Q（x₀，4x₀），直線PQ的方程為y-4=

4x0-4

x0-6

（x-6），由此能求出Q（

7

2

，14）．
（3）設點Q（x₀，4x₀），則直線PQ的方程為y-4=

4x0-4

x0-6

（x-6），點M的坐標為（

5x0

x0-1

，0）．設△OMQ的面積為S，則10x-Sx₀+S=0，由此能求出點Q的坐標為（2，8）時，△OMQ的面積最小，且最小值為40．

解答： 解：（1）設點M（m，0），則M點關于P點對稱點為（12-m，8），
由題可知，點（12-m，8）必在直線l上，
∴8=4（12-m），即m=10，
∴M（10，0），直線MQ方程為2x+y-20=0．
（2）設點Q（x₀，4x₀），（x₀＞6，（x₀≤6時不滿足條件）），
∴直線PQ的方程為y-4=

4x0-4

x0-6

（x-6）．
令y=0得x=

5x0

x0-1

，∴點M的坐標為（

5x0

x0-1

，0），
由題可得|OQ|=|QM|，即x₀=

7

2

，
∴Q（

7

2

，14）
（3）設點Q（x₀，4x₀）（x₀＞1且x₀≠6），
則直線PQ的方程為y-4=

4x0-4

x0-6

（x-6）．
令y=0得x=

5x0

x0-1

，∴點M的坐標為（

5x0

x0-1

，0）．
設△OMQ的面積為S，則S=

1

2

|OM|•4x₀=，即10x-Sx₀+S=0．
∴關于x₀的一元二次方程有實根．
∴△=S²-40S≥0，即S≥40．
當S=40時，x₀=2，4x₀=8，∴點Q的坐標為（2，8）．
而當x₀=6時，點Q的坐標為（6，24），
此時S=

1

2

×6×24=72＞40，不符合要求．
故當點Q的坐標為（2，8）時，△OMQ的面積最小，且最小值為40．

點評：本題考查直線MQ的方程的求法，考查Q點坐標的求法，考查點Q在什么位置時，△OMQ的面積最小，并求出最小值．解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．