Question

有定點(diǎn)P（6，4）及定直線(xiàn)l：y=4x，點(diǎn)Q是l上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，PQ交x軸的正半軸于點(diǎn)M，
（1）當(dāng)P點(diǎn)平分線(xiàn)段MQ時(shí)，求直線(xiàn)MQ的方程；
（2）當(dāng)△OMQ是以O(shè)M為底的等腰三角形時(shí)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，△OMQ的面積最小，并求出最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)點(diǎn)M（m，0），則M點(diǎn)關(guān)于P點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（12-m，8），由題可知，點(diǎn)（12-m，8）必在直線(xiàn)l上，由此能求出直線(xiàn)MQ方程．
（2）設(shè)點(diǎn)Q（x₀，4x₀），直線(xiàn)PQ的方程為y-4=

4x0-4

x0-6

（x-6），由此能求出Q（

7

2

，14）．
（3）設(shè)點(diǎn)Q（x₀，4x₀），則直線(xiàn)PQ的方程為y-4=

4x0-4

x0-6

（x-6），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

5x0

x0-1

，0）．設(shè)△OMQ的面積為S，則10x-Sx₀+S=0，由此能求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，8）時(shí)，△OMQ的面積最小，且最小值為40．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)M（m，0），則M點(diǎn)關(guān)于P點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（12-m，8），
由題可知，點(diǎn)（12-m，8）必在直線(xiàn)l上，
∴8=4（12-m），即m=10，
∴M（10，0），直線(xiàn)MQ方程為2x+y-20=0．
（2）設(shè)點(diǎn)Q（x₀，4x₀），（x₀＞6，（x₀≤6時(shí)不滿(mǎn)足條件）），
∴直線(xiàn)PQ的方程為y-4=

4x0-4

x0-6

（x-6）．
令y=0得x=

5x0

x0-1

，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

5x0

x0-1

，0），
由題可得|OQ|=|QM|，即x₀=

7

2

，
∴Q（

7

2

，14）
（3）設(shè)點(diǎn)Q（x₀，4x₀）（x₀＞1且x₀≠6），
則直線(xiàn)PQ的方程為y-4=

4x0-4

x0-6

（x-6）．
令y=0得x=

5x0

x0-1

，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

5x0

x0-1

，0）．
設(shè)△OMQ的面積為S，則S=

1

2

|OM|•4x₀=，即10x-Sx₀+S=0．
∴關(guān)于x₀的一元二次方程有實(shí)根．
∴△=S²-40S≥0，即S≥40．
當(dāng)S=40時(shí)，x₀=2，4x₀=8，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，8）．
而當(dāng)x₀=6時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6，24），
此時(shí)S=

1

2

×6×24=72＞40，不符合要求．
故當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，8）時(shí)，△OMQ的面積最小，且最小值為40．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)MQ的方程的求法，考查Q點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，△OMQ的面積最小，并求出最小值．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．