Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，2a_n+1=2a_n+1，n∈N⁺．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=9-(

1

3

)n-2，n∈N⁺．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_n•b_n，n∈N⁺．求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系即可求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由2a_n+1=2a_n+1得a_n+1-a_n=

1

2

，
又a₁=1，所以數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，

1

2

為公差的等差數(shù)列，
于是a_n=a₁+（n-1）d=

n+1

2

，
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=9-(

1

3

)1-2=9-3=6，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=9-(

1

3

)n-3，
則b_n=S_n-S_n-1=9-(

1

3

)n-2-[9-(

1

3

)n-3]=

2

3n-2

，
又n=1時(shí)，

2

3n-2

=6=b₁，
所以b_n=

2

3n-2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=

n+1

2

，b_n=

2

3n-2

，
所以c_n=a_n•b_n=（n+1）(

1

3

)n-2，
所以T_n=2×（

1

3

）^-1+3×（

1

3

）⁰+4×（

1

3

）¹+…+（n+1）×（

1

3

）^n-2 …（1）
等式兩邊同乘以

1

3

得

1

3

T_n=2×（

1

3

）⁰+3×（

1

3

）¹+4×（

1

3

）²+…+（n+1）×（

1

3

）^n-1…（2）
（1）-（2）得

2

3

T_n=2×（

1

3

）^-1+（

1

3

）⁰+（

1

3

）¹+…+×（

1

3

）^n-2-（n+1）×（

1

3

）^n-1=6+

1-( 1 3 )n-1

1- 1 3

-（n+1）×（

1

3

）^n-1，
所以T_n=

45

4

-

2n+5

4

•（

1

3

）^n-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的求和，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵．