Question

11．已知平面向量$\overrightarrow a=（1，-\sqrt{3}），\overrightarrow b=（3，\sqrt{3}）$，則向量$\overrightarrow a$與向量$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 先求出向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的坐標(biāo)，從而可以由$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$帶入坐標(biāo)便可求出cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow＞$，進(jìn)而便可得出向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的夾角．

解答 解：$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（4，0）$，設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的夾角為θ，則：
$cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}=\frac{4}{2×4}=\frac{1}{2}$；
∴$θ=\frac{π}{3}$；
即向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長度，以及向量夾角的余弦公式，已知三角函數(shù)值求角，清楚向量夾角的范圍．