Question

12．已知等比數(shù)列{a_n}中，a₄a₈=9，則a₃+a₉的取值范圍為（　�。�

• A． [6，+∞）
• B． [6，+∞）∪（-∞，-6]
• C． （6，+∞）
• D． （-6，6）

Answer 1

分析 由題意和等比數(shù)列的性質(zhì)可得a₃a₉=a₄a₈=9，當(dāng)a₃和a₉為正數(shù)時(shí)，由基本不等式可得a₃+a₉≥2$\sqrt{{a}_{3}{a}_{9}}$=6；當(dāng)a₃和a₉為負(fù)數(shù)時(shí)，由基本不等式可得a₃+a₉≤-2$\sqrt{{a}_{3}{a}_{9}}$=-6，驗(yàn)證等號(hào)成了即可．

解答 解：由題意和等比數(shù)列的性質(zhì)可得a₃a₉=a₄a₈=9，
∴當(dāng)a₃和a₉為正數(shù)時(shí)，a₃+a₉≥2$\sqrt{{a}_{3}{a}_{9}}$=6，
當(dāng)且僅當(dāng)a₃=a₉=3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)a₃+a₉≥6；
當(dāng)a₃和a₉為負(fù)數(shù)時(shí)，a₃+a₉=-2（-a₃-a₉）≤-2$\sqrt{{a}_{3}{a}_{9}}$=-6，
當(dāng)且僅當(dāng)a₃=a₉=-3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)a₃+a₉≤-6；
綜合可得a₃+a₉的取值范圍為：[6，+∞）∪（-∞，-6]
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和基本不等式求最值，涉及分類(lèi)討論的思想，屬中檔題．