Question

已知圓x²＋y²＋x－6y＋m＝0和直線x＋2y－3＝0交于P，Q兩點，且OP⊥OQ(O為坐標原點)，求該圓的圓心坐標及半徑．

Answer 1

解　法一　將x＝3－2y，

代入方程x²＋y²＋x－6y＋m＝0，

得5y²－20y＋12＋m＝0.

設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

則y₁，y₂滿足條件：

y₁＋y₂＝4，y₁y₂＝.

∵OP⊥OQ，∴x₁x₂＋y₁y₂＝0.

而x₁＝3－2y₁，x₂＝3－2y₂.

∵x₁x₂＝9－6(y₁＋y₂)＋4y₁y₂＝.

故＝0，解得m＝3，

此時Δ＝(－20)²－4×5×(12＋m)＝20(8－m)＞0，圓心坐標為，半徑r＝.

法二　如圖所示，設弦PQ中點為M，且圓x²＋y²＋x－6y＋m＝0的圓心為O₁，

設M(x₀，y₀)，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

由法一知，y₁＋y₂＝4，x₁＋x₂＝－2，

∴x₀＝＝－1，y₀＝＝2.

即M的坐標為(－1,2)．

則以PQ為直徑的圓可設為(x＋1)²＋

(y－2)²＝r.

∵OP⊥OQ，∴點O在以PQ為直徑的圓上．

∴(0＋1)²＋(0－2)²＝r，即r＝5，|MQ|²＝r.

在Rt△O₁MQ中，|O₁Q|²＝|O₁M|²＋|MQ|².

∴＝＋(3－2)²＋5.

∴m＝3，∴圓心坐標為，半徑r＝.