Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（wx+φ），其中w＞0，-π＜φ＜π，若f（x）的最小正周期為6π，且當x=

π

2

時，f（x）取得最大值．
（1）求解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）由y=sinx的圖象如何變換可得到f（x）的圖象．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由周期求出w，由特殊點的坐標求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）由條件根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結論．

解答： 解：（1）由f（x）的最小正周期為

2π

w

=6π，求得w=

1

3

．
再根據(jù)當x=

π

2

時，f（x）取得最大值，可得

1

3

×

π

2

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z；
結合-π＜φ＜π，可得φ=

π

3

，∴函數(shù)f（x）=2sin（

1

3

x+

π

3

）．
（2）令2kπ-

π

2

≤

1

3

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得6kπ-5π≤x≤6kπ+π，
故函數(shù)的增區(qū)間為[6kπ-5π，6kπ+π]，k∈z．
（3）把y=sinx的圖象向左平移

π

3

個單位，可得y=sin（x+

π

3

）的圖象；
再把所得圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得y=sin（

1

3

x+

π

3

）的圖象，
再把所得圖象上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得y=2sin（

1

3

x+

π

3

）的圖象．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．