Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2．
（1）求異面直線BC₁與B₁D₁所成的角；
（2）求三棱錐A₁-AB₁D₁的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)BD，DC₁，由BD∥B₁D₁，得∠DBC₁是異面直線BC₁與B₁D₁所成的角，由此能求出異面直線BC₁與B₁D₁所成的角．
（2）由VA1-AB1D1=VA-A1B1D1，利用等積法能求出三棱錐A₁-AB₁D₁的體積．

解答： 解：（1）連結(jié)BD，DC₁，
∵BD∥B₁D₁，∴∠DBC₁是異面直線BC₁與B₁D₁所成的角，
∵BD=BC₁=DC₁，
∴∠DBC₁=60°，
∴異面直線BC₁與B₁D₁所成的角為60°．
（2）∵AA₁⊥平面A₁B₁D₁，且AA₁=2，
S△A1B1D2=

1

2

×2×2=2，
∴VA1-AB1D1=VA-A1B1D1
=

1

3

×S△A1B1D1×AA1=

1

3

×2×2=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．