Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-2|+|x+3|，
（1）解不等式f（x）＞6；
（2）若關(guān)于x等式f（x）≤|a-1|的解集不是空集，求a得取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)對(duì)x＜-3，-3≤x≤1與x＞1的分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一次不等式即可求得不等式f（x）＞6的解集；
（2）f（x）=|2x-2|+|x+3|=

-1-3x，x≤-3 5-x，-3＜x＜1 3x+1，x≥1

，利用不等式的性質(zhì)可知f（x）=|2x-2|+|x+3|≥4，解不等式|a-1|≥f（x）_min=4即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）＞6，
∴|2x-2|+|x+3|＞6，
①當(dāng)x＜-3時(shí)，2-2x-x-3＞6解得x＜-

7

3

，
∴x＜-3；
②當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，2-2x+x+3＞6，解得x＜-1，
∴-3≤x＜-1；
③當(dāng)x＞1時(shí)，2x-2+x+3＞6解得x＞

5

3

；
∴原不等式的解集為{x|x＜-1或x＞

5

3

}；
（2）∵f（x）=|2x-2|+|x+3|=

-1-3x，x≤-3 5-x，-3＜x＜1 3x+1，x≥1

，
∴f（x）=|2x-2|+|x+3|≥4，
∴若f（x）≤|a-1|的解集不是空集，則|a-1|≥f（x）_min=4，
解得：a≥5或a≤-3．
∴a的取值范圍為（-∞，-3]∪[5，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查分類(lèi)討論思想與轉(zhuǎn)化思想，方程思想的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．