Question

3．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）證明：f（x）在區(qū)間[1，+∞]上是增函數(shù)；
（4）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上的值域．

Answer 1

分析 （1）使函數(shù)f（x）有意義，顯然x≠0，從而便可得出該函數(shù)的定義域；
（2）根據(jù)奇偶性的定義，容易求出f（-x）=-f（x），從而判斷出該函數(shù)為奇函數(shù)；
（3）根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂≥1，然后作差，提取公因式即可證明f（x₁）＞f（x₂），這便可得出該函數(shù)為增函數(shù)；
（4）根據(jù)（3）證出的函數(shù)f（x）的單調(diào)性，便可知f（x）在[2，3]上單調(diào)遞增，從而便得出該函數(shù)在[2，3]上的值域?yàn)閇f（2），f（3）]．

解答 解：（1）定義域?yàn)椋簕x|x≠0}；
（2）f（-x）=$-x-\frac{1}{x}=-f（x）$；
∴該函數(shù)為奇函數(shù)；
（3）證明：設(shè)x₁＞x₂≥1，則：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂≥1；
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞1；
∴$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（4）由上面知，f（x）在[2，3]上單調(diào)遞增；
∴f（x）的值域?yàn)閇f（2），f（3）]=[$\frac{5}{2}，\frac{10}{3}$]．

點(diǎn)評 考查函數(shù)定義域、值域的概念，以及奇函數(shù)、增函數(shù)的定義及判斷方法和過程，作差的方法比較f（x₁）與f（x₂），作差之后一般需提取公因式x₁-x₂，以及根據(jù)單調(diào)性定義求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域．