Question

（本小題滿分12分）

如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2.

   （I）求證：PD⊥BC；

   （II）求二面角B—PD—C的大小.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

(1) 略

(2)

【解析】

方法一：

   （I）證明：∵平面PCD⊥平面ABCD，

又∵平面PCD∩平面ABCD=CD，

BC在平面ABCD內(nèi) ，BC⊥CD，

∴BC⊥平面PCD.

∴PD⊥BC.                           …………6分

   （II）解：取PD的中點(diǎn)E，連接CE、BE，

為正三角形，

由（I）知BC⊥平面PCD，

∴CE是BE在平面PCD內(nèi)的射影，

∴BE⊥PD.

∴∠CEB為二面角B—PD—C的平面角.   …………9分

在

∴二面角B—PD—C的大小為                  …………12分

方法二：（I）證明：取CD的中點(diǎn)為O，連接PO，

∵PD=PC，∴PO⊥CD，

∵平面PCD⊥平面ABCD，

平面PCD∩平面ABCD=CD，

∴PO⊥平面ABCD，

如圖，在平面ABCD內(nèi)，過O作OM⊥CD交AB于M，

以O(shè)為原點(diǎn)，OM、OC、OP分別為x、y、z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，

    由B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，-1，0）， …………4分

   

                                              …………6分

   （II）解：取PD的中點(diǎn)E，連接CE、BE，則

    為正三角形，

   

    為二面角B—PD—C的平面角. …………9分

   

    二面角B—PD—C的大小為                 …………12分