Question

14．設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R⁺上的減函數(shù)，并且任意的正實數(shù)x，y滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（2$\sqrt{2}$）=1．
（1）求f（1）的值；
（2）求f（8）的值；
（3）如果f（4）+f（x-2）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件通過賦值法求解即可．
（2）結(jié)合f（2$\sqrt{2}$）=1，通過賦值法求解即可．
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，推出結(jié)果即可．

解答 解：（1）任意的正實數(shù)x，y滿足f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0；
（2）f（8）=f（$2\sqrt{2}•2\sqrt{2}$）=f（2$\sqrt{2}$）+f（2$\sqrt{2}$）=2；
（3）如果f（4）+f（x-2）＜2，即：f（4（x-2））=f（4）+f（x-2）＜f（2$\sqrt{2}$）+f（2$\sqrt{2}$）=f（8）．
可得：4（x-2）＞8，解得x＞4
x的取值范圍：（4，+∞）．

點評 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，考查計算能力．