Question

【題目】如圖，一只螞蟻繞一個豎直放置的圓環(huán)逆時針勻速爬行，已知圓環(huán)的半徑為8，圓環(huán)的圓心距離地面的高度為10，螞蟻每12分鐘爬行一圈，若螞蟻的起始位置在最低點處.

（1）試確定在時刻（）時螞蟻距離地面的高度；

（2）在螞蟻繞圓環(huán)爬行的一圈內(nèi)，有多長時間螞蟻距離地面超過14？

Answer 1

【答案】（1） （2）有4分鐘時間螞蟻距離地面超過14m．

【解析】試題分析：

（1）先確定點P咋t分鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角，從而可得到點P的縱坐標(biāo)，由此可得在時刻時螞蟻距離地面的高度，（2）根據(jù)（1）中的關(guān)系式解三角不等式可得的取值范圍，進(jìn)而可得所求時間．

試題解析：

（1）設(shè)在時刻t（min）時螞蟻達(dá)到點P，

則點P在t分鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為=，

所以以Ox為始邊，OP為終邊的角為的大小為+，

故P點的縱坐標(biāo)為8sin（+），

則h=8sin（+）+10=10﹣8cos，

∴在時刻時螞蟻距離地面的高度=10﹣8cos（t≥0）．

（2）由（1）知h=10﹣8cos

令10﹣8cos≥14，可得cos≤﹣，

∴（k∈Z），

解得，

又，

∴4≤t≤8．

即在螞蟻繞圓環(huán)爬行的一圈內(nèi)，有4分鐘時間螞蟻距離地面超過14m．