Question

酒杯的形狀為倒立的圓錐，杯深8cm，上口寬6cm，水以20cm³/s的流量倒入杯中，當(dāng)水深為4cm時(shí)，則水面升高的瞬時(shí)變化率是

 

．

Answer 1

分析：作出如圖的圖象，建立起水面高h(yuǎn)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出水面升高時(shí)的瞬時(shí)變化率即得到正確答案

解答：解：由題意，如圖，設(shè)t時(shí)刻水面高為h，水面圓半徑是r，
由圖知

r

h

=

3

8

可得r=

3

8

h，此時(shí)水的體積為

1

3

×π×r²×h=

3π

64

h3
又由題設(shè)條件知，此時(shí)的水量為20t
故有20t=

3π

64

h3，故有h=(

1280t

3π

)

1

3

h'=

1

3

×(

1280t

3π

)-

2

3

×

1280

3π

 
又當(dāng)h=4時(shí)，有t=

3π

20

，故h=4時(shí)，h'=

1

3

×(

1280× 3π 20

3π

)-

2

3

×

1280

3π

 =

80

9π

當(dāng)水深為4cm時(shí)，則水面升高的瞬時(shí)變化率是

80

9π

cm/s
故答案為

80

9π

cm/s

點(diǎn)評(píng)：本題考查變化的快慢與變化率，正確解答本題關(guān)鍵是得出高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)求出高度為4時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)值，即得出此時(shí)的變化率，本題是一個(gè)應(yīng)用題求解此類題，正確理解題意很關(guān)鍵．由于所得的解析式復(fù)雜，解題時(shí)運(yùn)算量較大，要認(rèn)真解題避免因?yàn)檫\(yùn)算出錯(cuò)導(dǎo)致解題失�。�