Question

1．在橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1中，弦長為2的弦的中點的軌跡方程為10x⁴y²-8x²y⁴-3x⁶-8y⁴-4x²y²=0（-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 首先對直線進行分類討論（1）斜率不存在時（2）斜率存在時兩種情況：然后重點對（2）進行分析，建立A、B與中點的坐標關系，求出直線AB的直線方程．進一步建立方程組，求出根和系數(shù)的關系式，以弦長為突破口建立等量關系，最后求出中點滿足的關系式．

解答 解：（1）當直線AB的斜率不存在時，當弦長正好是橢圓的短軸時，AB=2，則中點M的軌跡是原點．
（2）當直線AB的斜率存在時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點M（x₀，y₀）
則：x₁+x₂=2x₀  y₁+y₂=2y₀
利用點差法，可得直線AB的斜率為k=-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$
進一步求得直線AB的直線方程為：y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$（x-x₀）
聯(lián)立橢圓得：（2y₀²+x₀²）x²-（2x₀³+4y₀²x₀）x+4x₀²y₀²x-x₀⁴=0
x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=$\frac{4{{x}_{0}}^{2}{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{4}}{2{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}$ 
由于AB=2
則：$\sqrt{1+（\frac{-{x}_{0}}{2{y}_{0}}）^{2}}$|x₁-x₂|=2
經過化簡得：10x₀⁴y₀²-8x₀²y₀⁴-3x₀⁶-8y₀⁴-4x₀²y₀²=0（-$\sqrt{2}$＜x₀＜$\sqrt{2}$）
即：10x⁴y²-8x²y⁴-3x⁶-8y⁴-4x²y²=0（-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$）
由于原點滿足上式
則：中點M的軌跡方程是：10x⁴y²-8x²y⁴-3x⁶-8y⁴-4x²y²=0（-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$）．
故答案為：10x⁴y²-8x²y⁴-3x⁶-8y⁴-4x²y²=0（-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查的知識要點：直線與橢圓的位置關系，直線根據(jù)斜率的存在性的分類討論，弦長公式的應用，根和系數(shù)的關系，及相關的運算問題．