Question

9．已知點M為橢圓C：3x²+4y²=12的右頂點，點A，B是橢圓C上不同的兩點（均異于點M），且滿足直線MA與直線MB斜率之積為$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率及焦點坐標；
（Ⅱ）試判斷直線AB是否過定點：若是，求出定點坐標；若否，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）橢圓C的方程可化為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，則a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．即可得出離心率與焦點坐標；
（Ⅱ）由題意，直線AB的斜率存在，可設直線AB的方程為y=kx+m（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立可得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．△＞0．由于直線MA與直線MB斜率之積為$\frac{1}{4}$，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{1}{4}$，把根與系數的關系代入可得：m²-2km-8k²=0，解得m=4k或m=-2k．分別討論解出即可．

解答 解：（Ⅰ）橢圓C的方程可化為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，則a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
故離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，焦點坐標為（-1，0），（1，0）．
（Ⅱ）由題意，直線AB的斜率存在，可設直線AB的方程為y=kx+m（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（4k²-m²+3）＞0．
∴x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵直線MA與直線MB斜率之積為$\frac{1}{4}$．
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{1}{4}$，
∴4（kx₁+m）（kx₂+m）=（x₁-2）（x₂-2）．
化簡得（4k²-1）x₁x₂+（4km+2）（x₁+x₂）+4m²-4=0，
∴$（4{k}^{2}-1）•\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+$（4km+2）×\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$+4m²-4=0，
化簡得m²-2km-8k²=0，解得m=4k或m=-2k．
當m=4k時，直線AB方程為y=k（x+4），過定點（-4，0）．
m=4k代入判別式大于零中，解得$-\frac{1}{2}＜k＜\frac{1}{2}$（k≠0）．
當m=-2k時，直線AB的方程為y=k（x-2），過定點（2，0），不符合題意．
故直線AB過定點（-4，0）．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立、斜率計算公式，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題．