Question

3．設(shè)直線l與拋物線x²=4y相交于A，B兩點，與圓x²+（y-5）²=r²（r＞0）相切于點M，且M為線段AB中點，若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（　�。�

• A． （1，3）
• B． （1，4）
• C． （2，3）
• D． （2，4）

Answer 1

分析 確定M的軌跡是直線x=3，代入拋物線方程可得x=±2$\sqrt{3}$所以交點與圓心（0，5）的距離為4，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
斜率存在時，設(shè)斜率為k，則x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，
$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}=4{y}_{1}}\\{{{x}_{2}}^{2}=4{y}_{2}}\end{array}\right.$，相減，得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=4（y₁-y₂），
當l的斜率存在且不為0時，利用點差法可得2k=x₀，
因為直線與圓相切，所以$\frac{{y}_{0}-5}{{x}_{0}}=-\frac{1}{k}$，所以y₀=3，
即M的軌跡是直線y=3．將y=3代入x²=4y，得x²=12，∴-2$\sqrt{3}$＜x₀＜2$\sqrt{3}$．
∵M在圓上，∴x₀²+（y₀-5）²=r²（r＞0），∴r²=${{x}_{0}}^{2}+4≤12+4=16$
∵直線l恰有4條，∴x₀≠0，∴4＜r²＜16，
故2＜r＜4時，直線l有2條；
斜率為0時，直線l有2條；
所以直線l恰有4條，2＜r＜4，
故選：D．

點評 本題考查直線與拋物線、圓的位置關(guān)系，考查點差法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．