Question

18．已知拋物線C：y²=12x與點M（-3，4），過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，則k的值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由已知可求過A，B兩點的直線方程為y=k（x-3），然后聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=12x}\\{y=k（x-3）}\end{array}\right.$，可得，k²x²-2（6+3k²）x+9k²=0，可表示x₁+x₂，x₁x₂，y₁+y₂，y₁y₂，由$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，代入整理可求k．

解答 解：∵拋物線C：y²=12x的焦點F（3，0），
∴過A，B兩點的直線方程為y=k（x-3），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=12x}\\{y=k（x-3）}\end{array}\right.$，可得，k²x²-2（6+3k²）x+9k²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{12+6{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=9
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-6）=$\frac{12}{k}$，y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]=-36，
∵M（-3，4），
∴$\overrightarrow{MA}$=（x₁+3，y₁-4），$\overrightarrow{MB}$=（x₂+3，y₂-4），
∵$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，
∴（x₁+3）（x₂+3）+（y₁-4）（y₂-4）=0，
整理可得，x₁x₂+3（x₁+x₂）+y₁y₂-4（y₁+y₂）+25=0，
∴9+3×$\frac{12+6{k}^{2}}{{k}^{2}}$-36-4×$\frac{12}{k}$+25=0，
∴k=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的相交關系的應用，解題的難點是本題具有較大的計算量．