Question

10．若實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥0}\\{y≥x}\\{y≥-x+b}\end{array}\right.$且z=2x+y的最小值為3，則實(shí)數(shù)b的值為（　�。�

• A． $\frac{4}{9}$
• B． $\frac{9}{4}$
• C． $\frac{7}{4}$
• D． 2

Answer 1

分析 由題意可知b＞0，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求得b的值．

解答 解：若b＜0，則不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥0}\\{y≥x}\\{y≥-x+b}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域?yàn)椤鱋AB及其內(nèi)部，
使目標(biāo)函數(shù)z=2x+y取得最小值的最優(yōu)解為O（0，0），不滿足z=2x+y的最小值為3；
當(dāng)b＞0時(shí)，由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥0}\\{y≥x}\\{y≥-x+b}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{y=-x+b}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{3}，\frac{2b}{3}$），
化目標(biāo)函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z，
由圖可知，當(dāng)直線y=-2x+z過A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為$\frac{4}{3}b=3$，
解得b=$\frac{9}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．