Question

19．設函數(shù)f（x）=ln2x+ax²+bx-ln2，（a，b∈R）
（1）曲線y=f（x）上一點A（1，2），若在A處的切線與直線2x-y-10=0平行，求a，b的值；
（2）設函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)為y=f'（x），若$f'（2）=\frac{1}{2}$，且函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）是單調函數(shù)，求證：e^a＞1-2a．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率，由題意可得f（1）=2，f′（1）=2，解方程可得a，b；
（2）求出f（x）的導數(shù)，由條件可得a，b的關系式，討論a=0，及a≠0，構造函數(shù)g（x）=2ax²-4ax+1，考慮對稱軸和區(qū)間的關系，求出a的范圍，運用導數(shù)大于0恒成立，即可得證．

解答 解：（1）f（x）=ln2x+ax²+bx-ln2的導數(shù)為$f'（x）=\frac{1}{x}+2ax+b$，
函數(shù)y=f（x）在點A（1，2）處的切線與直線2x-y-10=0平行，
則$\left\{\begin{array}{l}f（1）=ln2+a+b-ln2=2\\ f'（1）=1+2a+b=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=3\end{array}\right.$，
所以a=-1，b=3；
（2）證明：由$f'（2）=\frac{1}{2}+2a×2+b=\frac{1}{2}$，
所以b=-4a$f'（x）=\frac{1}{x}+2ax+b=\frac{{2a{x^2}-4ax+1}}{x}=\frac{{2a{{（{x-1}）}^2}+1-2a}}{x}$，
因為x∈（0，+∞），
當a=0時，$f'（x）=\frac{1}{x}＞0$在（0，+∞）恒成立，符合題意，
當a≠0時，令g（x）=2ax²-4ax+1，
因為g（0）=1＞0且g（x）的對稱軸為x=1，
要函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）是單調函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}2a＞0\\ 1-2a≥0\end{array}\right.$，解得$0＜a≤\frac{1}{2}$，
設ϕ（a）=e^a+2a-1，則ϕ'（a）=e^a+2＞0在$（{0，\frac{1}{2}}]$上恒成立，
所以ϕ（a）＞ϕ（0）=0，
即e^a＞1-2a．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調性，考查分類討論的思想和函數(shù)恒成立思想，注意運用構造函數(shù)，考查化簡后整理的運算能力，屬于中檔題．