Question

平面四邊形ABCD中，BC=CD=1，∠ABC=∠ADC=90°，則

AB

•

AD

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：由題意知Rt△ABC≌Rt△ACD，令：|

AB

|=|

AD

|=x，由已知條件推導出

AB

•

AD

=f（x）=

x2(x2-1)

x2+1

，由此利用導數性質能求出

AB

•

AD

的最小值．

解答： 解：由題意知Rt△ABC≌Rt△ACD，
令：|

AB

|=|

AD

|=x，x＞0，則

AB

•

AD

=x²cos∠BAD，
cos∠CAD=

x

x2+1

，∴cos∠BAD=2cos²∠CAD-1=

x2-1

x2+1

，
∴

AB

•

AD

=f（x）=x²cos∠BAD=

x2(x2-1)

x2+1

，
函數f（x）在R上有3個零點，-1，0，1，但考慮到x＞0，實際上只有1個零點x=1．
即：x=1時取得零點，此時對應向量

AB

⊥

AD

，
f'（x）=

2x(x4+2x2-1)

(x2+1)2

，
∵x＞0，∴當0＜x＜

2 -1

時，f（x）是減函數；當x＞

2 -1

，f（x）是增函數，
故f（x）在x=

2 -1

時取得最小值，此時：x²=

2

-1，
f（x）_min=

( 2 -1)( 2 -2)

2

=2

2

-3．
∴

AB

•

AD

的最小值是2

2

-3．
故答案為：2

2

-3．

點評：本題考查向量的數量積的最小值的求法，解題要認真審題，注意導數性質的靈活運用．