【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+(x﹣1)ex .
(1)當(dāng)a=﹣ 時(shí),求f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線方程;
(2)討論f(x)的單調(diào)性;
(3)當(dāng)﹣ <a<﹣ 時(shí),f(x)是否存在極值?若存在,求所有極值的和的取值范圍.
【答案】
(1)解:當(dāng)a= 時(shí),f(x)= x2+(x﹣1)ex,
∴f(1)= ,
f′(x)=﹣(e+1)x+xex,∴f′(1)=﹣1
切線方程為:y+ =﹣(x﹣1),
即:2x+2y+e﹣1=0
(2)解:f′(x)=2ax+xex=x(ex+2a)
①當(dāng)2a≥0即a≥0時(shí),f(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
②當(dāng)﹣ <a<0時(shí),f(x)在(﹣∞,ln(﹣2a))上單調(diào)遞增,
在(ln(﹣2a),0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
③當(dāng)a=﹣ 時(shí),f(x)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增;
④當(dāng)a<﹣ 時(shí),f(x)在(﹣∞,0))上單調(diào)遞增,
在(0,ln(﹣2a))上單調(diào)遞減,在(ln(﹣2a),+∞)上單調(diào)遞增
(3)解:由(2)知,當(dāng)﹣ <a<﹣ <0時(shí),
f(x)在(﹣∞,ln(﹣2a))上單調(diào)遞增,在(ln(﹣2a),0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴x1=ln(﹣2a)為極大值點(diǎn),x2=0為極小值點(diǎn),所有極值的和即為f(x1)+f(x2),
f(x1)+f(x2)=ax12+(x1﹣1) ﹣1
∵x1=ln(﹣2a),∴a=﹣ ,
∴f(x1)+f(x2)=﹣ x12+(x1﹣1) ﹣1= (﹣ x12+x1﹣1)﹣1
∵﹣ <a<﹣ ,∴ <﹣2a<1,∴﹣1<x1=ln(﹣2a)<0,
令(x)=ex (﹣ x2+x﹣1)﹣1(﹣1<x<0)
∴′(x)=ex (﹣ x2)<0∴(x)在(﹣1,0)單調(diào)遞減
∴(0)<(x)<(﹣1)
即﹣2(x)<﹣ ﹣1
∴所有極值的和的取值范圍為(﹣2,﹣ )
【解析】(1)當(dāng)a= 時(shí),求出f′(x)=﹣(e+1)x+xex , 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能出f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線方程.(2)f′(x)=2ax+xex=x(ex+2a),由此根據(jù)a≥0,﹣ <a<0,a=﹣ ,a<﹣ ,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論f(x)的單調(diào)性.(3)推導(dǎo)出x1=ln(﹣2a)為極大值點(diǎn),x2=0為極小值點(diǎn),所有極值的和即為f(x1)+f(x2),f(x1)+f(x2)=ax12+(x1﹣1) ﹣1,由此利用導(dǎo)性質(zhì)能求出所有極值的和的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在區(qū)間[﹣2,t](t>﹣2)上的函數(shù)f(x)=(x2﹣3x+3)ex(其中e為自然對(duì)數(shù)的底).
(1)當(dāng)t>1時(shí),求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)m=f(﹣2),n=f(t),求證:m<n;
(3)設(shè)g(x)=f(x)+(x﹣2)ex , 當(dāng)x>1時(shí),試判斷方程g(x)=x的根的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+(x﹣1)ex .
(1)當(dāng)a=﹣ 時(shí),求f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線方程;
(2)討論f(x)的單調(diào)性;
(3)當(dāng)﹣ <a<﹣ 時(shí),f(x)是否存在極值?若存在,求所有極值的和的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并說(shuō)明理由;
(3)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】北京時(shí)間3月10日,CBA半決賽開(kāi)打,采用7局4勝制(若某對(duì)取勝四場(chǎng),則終止本次比賽,并獲得進(jìn)入決賽資格),采用2﹣3﹣2的賽程,遼寧男籃將與新疆男籃爭(zhēng)奪一個(gè)決賽名額,由于新疆隊(duì)常規(guī)賽占優(yōu),決賽時(shí)擁有主場(chǎng)優(yōu)勢(shì)(新疆先兩個(gè)主場(chǎng),然后三個(gè)客場(chǎng),再兩個(gè)主場(chǎng)),以下是總決賽賽程:
日期 | 比賽隊(duì) | 主場(chǎng) | 客場(chǎng) | 比賽時(shí)間 | 比賽地點(diǎn) |
17年3月10日 | 新疆﹣遼寧 | 新疆 | 遼寧 | 20:00 | 烏魯木齊 |
17年3月12日 | 新疆﹣遼寧 | 新疆 | 遼寧 | 20:00 | 烏魯木齊 |
17年3月15日 | 遼寧﹣新疆 | 遼寧 | 新疆 | 20:00 | 本溪 |
17年3月17日 | 遼寧﹣新疆 | 遼寧 | 新疆 | 20:00 | 本溪 |
17年3月19日 | 遼寧﹣新疆 | 遼寧 | 新疆 | 20:00 | 本溪 |
17年3月22日 | 新疆﹣遼寧 | 新疆 | 遼寧 | 20:00 | 烏魯木齊 |
17年3月24日 | 新疆﹣遼寧 | 新疆 | 遼寧 | 20:00 | 烏魯木齊 |
(1)若考慮主場(chǎng)優(yōu)勢(shì),每個(gè)隊(duì)主場(chǎng)獲勝的概率均為 ,客場(chǎng)取勝的概率均為 ,求遼寧隊(duì)以比分4:1獲勝的概率;
(2)根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),每場(chǎng)比賽組織者可獲得門(mén)票收入50萬(wàn)元(與主客場(chǎng)無(wú)關(guān)),若不考慮主客場(chǎng)因素,每個(gè)隊(duì)每場(chǎng)比賽獲勝的概率均為 ,設(shè)本次半決賽中(只考慮這兩支隊(duì))組織者所獲得的門(mén)票收入為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且滿(mǎn)足a1=1,nSn+1﹣(n+1)Sn= ,n∈N*
(1)求a2的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 的最小正周期為 ,且當(dāng) 時(shí), 取得最大值 .
(1)求 的解析式及單調(diào)增區(qū)間;
(2)若 ,且 ,求 ;
(3)將函數(shù) 的圖象向右平移 ( )個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù) 是偶函數(shù),求 的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4和最小值1.設(shè).
(1)求的值;
(2)若不等式在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線 為參數(shù))經(jīng)過(guò)橢圓 為參數(shù))的左焦點(diǎn) .
(1)求 的值;
(2)設(shè)直線 與橢圓 交于 兩點(diǎn),求 的最大值和最小值.
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