【題目】已知圓，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）直線與圓相交于兩點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)直線的方程；

（3）求曲線與的公共弦長(zhǎng).

【答案】（1）；（2），；（3）

【解析】

（1）設(shè)，，由為中點(diǎn)，列出關(guān)系式，求得，再代入化簡(jiǎn)即可；

（2）先確定直線過定點(diǎn)，得出當(dāng)直線時(shí)，有最小值，求解即可；

（3）根據(jù)圓心間的距離得出兩圓相交，聯(lián)立兩圓的方程得出公共弦所在的直線方程，再由直線與圓的關(guān)系求出弦長(zhǎng)即可.

解：（1）設(shè)，

∵為中點(diǎn)，∴得，

∵點(diǎn)在圓上，∴

∴，化簡(jiǎn)得

∴點(diǎn)的軌跡的方程為

（2）由線可化為，所以直線過定點(diǎn)，在圓內(nèi)，

當(dāng)直線時(shí)，有最小值，

又，圓的半徑為2，所以

此時(shí)，所以直線的斜率為，的方程為

（3）∵且，∴兩圓相交

①

②

①－②得，即，即公共弦所在的直線方程為

圓心到直線的距離為，因?yàn)閳A的半徑為2，

所以公共弦長(zhǎng)為，∴公共弦長(zhǎng)為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)的圖象上存在關(guān)于直線對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，則稱具有性質(zhì).已知為常數(shù)，函數(shù)，，對(duì)于命題：①存在，使得具有性質(zhì)；②存在，使得具有性質(zhì)，下列判斷正確的是( )

A.①和②均為真命題B.①和②均是假命題

C.①是真命題，②是假命題D.①是假命題，②是真命題

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知梯形中，，，是的中點(diǎn).，、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)（），沿將梯形翻折，使平面平面，如圖.

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）若以、、、為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為，求的最大值；

（3）當(dāng)取得最大值時(shí)，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓，直線， .

（1）求證：對(duì)，直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）求弦的中點(diǎn)的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得原上有四點(diǎn)到直線的距離為？若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（多選）下列命題中為真命題的是（ ）

A.若事件與事件互為對(duì)立事件，則事件與事件為互斥事件

B.若事件與事件為互斥事件，則事件與事件互為對(duì)立事件

C.若事件與事件互為對(duì)立事件，則事件為必然事件

D.若事件為必然事件，則事件與事件為互斥事件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2012年，在“雜交水稻之父”袁隆平的實(shí)驗(yàn)田內(nèi)種植了，兩個(gè)品種的水稻，為了篩選出更優(yōu)的品種，在，兩個(gè)品種的實(shí)驗(yàn)田中分別抽取7塊實(shí)驗(yàn)田，如圖所示的莖葉圖記錄了這14塊實(shí)驗(yàn)田的畝產(chǎn)量（單位：），通過莖葉圖比較兩個(gè)品種的均值及方差，并從中挑選一個(gè)品種進(jìn)行以后的推廣，有如下結(jié)論：①品種水稻的平均產(chǎn)量高于品種水稻，推廣品種水稻；②品種水稻的平均產(chǎn)量高于品種水稻，推廣品種水稻；③品種水稻比品種水稻產(chǎn)量更穩(wěn)定，推廣品種水稻；④品種水稻比品種水稻產(chǎn)量更穩(wěn)定，推廣品種水稻；其中正確結(jié)論的編號(hào)為( )

A.①②B.①③C.②④D.①④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某保險(xiǎn)公司有一款保險(xiǎn)產(chǎn)品的歷史收益率（收益率利潤(rùn)保費(fèi)收入）的頻率分布直方圖如圖所示：

（1）試估計(jì)這款保險(xiǎn)產(chǎn)品的收益率的平均值；

（2）設(shè)每份保單的保費(fèi)在20元的基礎(chǔ)上每增加元，對(duì)應(yīng)的銷量為（萬份）．從歷史銷售記錄中抽樣得到如下5組與的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

元

25

30

38

45

52

銷量為（萬份）

7.5

7.1

6.0

5.6

4.8

由上表，知與有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，且據(jù)此計(jì)算出的回歸方程為．

（�。┣髤�(shù)的值；

（ⅱ）若把回歸方程當(dāng)作與的線性關(guān)系，用（1）中求出的收益率的平均值作為此產(chǎn)品的收益率，試問每份保單的保費(fèi)定為多少元時(shí)此產(chǎn)品可獲得最大利潤(rùn)，并求出最大利潤(rùn)．注：保險(xiǎn)產(chǎn)品的保費(fèi)收入每份保單的保費(fèi)銷量．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某縣位于沙漠地帶，人與自然長(zhǎng)期進(jìn)行頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到1998年底全縣的綠化率已達(dá)到30%。從1999年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時(shí)，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化。

（1）設(shè)全縣面積為1，1998年底綠化總面積為，經(jīng)過n年后綠化總面積為，求證：。

（2）至少需要多少年的努力，才能使全縣的綠化率超過60%？（年取整數(shù)，lg2=0.3010）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛（Alberobello），這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝?/span>Trullo，于1996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄（如圖1）.現(xiàn)測(cè)量一個(gè)屋頂，得到圓錐SO的底面直徑AB長(zhǎng)為12m，母線SA長(zhǎng)為18m（如圖2）.C，D是母線SA的兩個(gè)三等分點(diǎn)（點(diǎn)D靠近點(diǎn)A），E是母線SB的中點(diǎn).

（1）從點(diǎn)A到點(diǎn)C繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，求燈光帶的最小長(zhǎng)度；

（2）現(xiàn)對(duì)屋頂進(jìn)行加固，在底面直徑AB上某一點(diǎn)P，向點(diǎn)D和點(diǎn)E分別引直線型鋼管PD和PE.試確定點(diǎn)P的位置，使得鋼管總長(zhǎng)度最小.

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