【題目】已知圓,直線, .

(1)求證:對,直線與圓總有兩個不同的交點;

(2)求弦的中點的軌跡方程,并說明其軌跡是什么曲線;

(3)是否存在實數(shù),使得原上有四點到直線的距離為?若存在,求出的范圍;若不存在,說明理由.

【答案】(1)見解析;(2)M的軌跡方程是,它是一個以為圓心,以為半徑的圓;(3).

【解析】【試題分析】(1)依據(jù)題設(shè)可以運用圓心與直線的距離或考慮動直線過定點分析判斷;(2)借助題設(shè)條件運用圓心與弦中點的連線與直線垂直建立方程求解;(3)依據(jù)題設(shè)借助圖形的直觀,運用圓心距與直線的位置和數(shù)量關(guān)系建立不等式:

(1)圓的圓心為,半徑為,所以圓心C到直線的距離

所以直線與圓C相交,即直線與圓總有兩個不同的交點;

或:直線的方程可化為,無論m怎么變化,直線過定點,由于,所以點是圓C內(nèi)一點,故直線與圓總有兩個不同的交點.

(2)設(shè)中點為,因為直線恒過定點,

當(dāng)直線的斜率存在時, ,又,

所以,化簡得

當(dāng)直線的斜率不存在時,中點也滿足上述方程

所以M的軌跡方程是,它是一個以為圓心,以為半徑的圓

(3) 假設(shè)存在直線使得圓上有四點到直線的距離為,由于圓心,半徑為,則圓心到直線的距離為

化簡得,解得

練習(xí)冊系列答案
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(垂足為F)的直線l從左至右移動(與梯形ABCD有公共點)時,直線l把梯形分成兩部分,令BF=x

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(2)已知A={x|f(x)<4},B={x|a2<x<a+2},若AB=B,求a的取值范圍。.

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(2)對任意x1x2∈[1,1],|f(x1)f(x2)|≤e1恒成立,求a的取值范圍.

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(1)求證: 平面

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(3)求證: .

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