Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，a₁=1，2S_n=3a_n-4．
（1）證明：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}+n-1}{{3}^{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）將n換為n-1，兩式相減可得a_n=3a_n-1，即有數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列；
（2）運用等比數(shù)列的通項公式和數(shù)列求和的方法：分組求和和錯位相減法，計算即可得到所求．

解答 解：（1）證明：a₁=1，2S_n=3a_n-4，
即有n＞1時，2S_n-1=3a_n-1-4，
兩式相減可得，2a_n=3a_n-3a_n-1，
即為a_n=3a_n-1，
即有數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}+n-1}{{3}^{n}}$=$\frac{{3}^{n-1}+n-1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{3}$+（n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
即有T_n=b₁+b₂+…+b_n
令M=0+1•$\frac{1}{9}$+2•$\frac{1}{27}$+…+（n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$M=0+1•$\frac{1}{27}$+2•$\frac{1}{81}$+…+（n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減得，$\frac{2}{3}$M=$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{27}$+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ-（n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
則M=$\frac{1}{4}$-$\frac{2n+1}{4•{3}^{n}}$，
故T_n=$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{2n+1}{4•{3}^{n}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項和求和的關(guān)系，考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和：分組求和和錯位相減法，屬于中檔題．