Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+n-1（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和為T_n，求使得T_n$＞\frac{m}{30}$對(duì)所有n∈N^*都成立的最大正整數(shù)m．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時(shí)，利用a_n=S_n-S_n-1計(jì)算、整理可知a_n-a_n-1=2，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項(xiàng)可知$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加可知T_n=$\frac{n}{2n+1}$，通過T_n=$\frac{1}{2+\frac{1}{n}}$隨著n的增大而增大可知，問題轉(zhuǎn)化為解不等式$\frac{m}{30}$＜$\frac{1}{2+1}$．

解答 （1）證明：∵a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+n-1，
∴S_n=na_n-n（n-1），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1
=[na_n-n（n-1）]-[（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）]
=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），
整理得：a_n-a_n-1=2，
又∵a₁=1，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}}{n}$=n，
∴數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}為等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可知，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
于是T_n$＞\frac{m}{30}$對(duì)所有n∈N^*都成立即$\frac{n}{2n+1}$$＞\frac{m}{30}$對(duì)所有n∈N^*都成立，
又∵T_n=$\frac{n}{2n+1}$=$\frac{1}{2+\frac{1}{n}}$隨著n的增大而增大，
∴$\frac{m}{30}$＜$\frac{1}{2+1}$，
解得：m＜10，
故滿足條件的最大正整數(shù)m=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．