Question

17．若${（{x^2}-\frac{2}{x}）^n}$的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為240（用數(shù)字作答）．

Answer 1

分析 由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知求得n，寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，再由x的指數(shù)等于0求得r值，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)可求．

解答 解：∵${（{x^2}-\frac{2}{x}）^n}$的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，∴2ⁿ=64，即n=6．
則${（{x^2}-\frac{2}{x}）^n}$=$（{x}^{2}-\frac{2}{x}）^{6}$，
由${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}{（x}^{2}）^{6-r}•（-\frac{2}{x}）^{r}$=$（-2）^{r}•{C}_{6}^{r}•{x}^{12-3r}$．
令12-3r=0，得r=4．
∴展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為$（-2）^{4}•{C}_{6}^{4}=240$．
故答案為：240．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是對(duì)二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)的記憶與運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．