Question

7．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，過(guò)點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．存在k的值，使以CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)，則k=（　�。�

• A． $\frac{7}{6}$
• B． -$\frac{7}{6}$
• C． 3
• D． 6

Answer 1

分析 通過(guò)點(diǎn)到直線AB：bx-ay-ab=0的距離及離心率的值可知橢圓方程，將直線y=kx+2代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及CD為圓心的圓過(guò)點(diǎn)E即數(shù)量積為0，即可求得結(jié)論．

解答 解：∵A（0，-b）、B（a，0），
∴直線AB的方程為：bx-ay-ab=0，
依題意，$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{\frac{|0-0-ab|}{\sqrt{^{2}+（-a）^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a²=3，b²=1，
∴橢圓C方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y、整理得：（1+3k²）x²+12kx+9=0，
∴x_C+x_D=-$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$，x_Cx_D=$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$，
∵以CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{ED}$=0，即（x_C+1，y_C）•（x_D+1，y_D）=0，
∴（x_C+1）（x_D+1）+y_Cy_D=0，
∴（1+k²）x_Cx_D+（2k+1）（x_C+x_D）=0，
∴（1+k²）•$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$+（2k+1）（-$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$）=0，
解得：k=$\frac{7}{6}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識(shí)，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理求解．注意解題方法的積累，屬于中檔題．