Question

18．已知在△ABC中，$\sqrt{3}$tanAtanB-$\sqrt{3}$=tanA+tanB，記∠A、∠B、∠C的對邊依次為a、b、c．
（1）求∠C的大��；
（2）若△ABC為銳角三角形，求sin²A+sin²B的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和的正切函數(shù)公式化簡等式，利用誘導(dǎo)公式求出tanC，由C為三角形的內(nèi)角、特殊角的三角函數(shù)值求出∠C的度數(shù)；
（2）由C求出A+B，并用A表示出B，根據(jù)A與B都為銳角求出A的范圍，將B代入所求式子中，利用兩角差的正弦、余弦函數(shù)為一個角的正弦函數(shù)，由A的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出sin²A+sin²B的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，$\sqrt{3}$tanAtanB-$\sqrt{3}$=tanA+tanB，
所以$\sqrt{3}$tanAtanB-$\sqrt{3}$=tan（A+B）（1-tanAtanB）
則tan（A+B）=$-\sqrt{3}$，
因為A+B+C=π，所以tanC=-tan（A+B）=$\sqrt{3}$，
則C=$\frac{π}{3}$；
（2）由（1）得C=$\frac{π}{3}$，則A+B=π-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，所以B=$\frac{2π}{3}$-A，
因為△ABC為銳角三角形，所以$\left\{\begin{array}{l}{0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}}\\{0＜A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，
設(shè)f（A）=sin²A+sin²B=sin²A+sin²（$\frac{2π}{3}$-A）
=$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{1-cos（\frac{4π}{3}-2A）}{2}$
=1-$\frac{1}{2}$[cos2A+（$-\frac{1}{2}$cos2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A$）]
=1-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$cos2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A$）=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A$-$\frac{1}{2}$cos2A）
=$\frac{1}{2}sin（2A-\frac{π}{6}）+1$，
因為$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，所以$\frac{π}{6}＜2A-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
則$\frac{1}{2}＜sin（2A-\frac{π}{6}）≤1$，
即$\frac{5}{4}＜f（A）≤\frac{3}{2}$，
所以sin²A+sin²B的取值范圍是（$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查兩角和的正切公式變形，兩角差的正弦、余弦公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握公式以及變形是解題的關(guān)鍵．