Question

8．已知a、b、c為△ABC的三邊，且a為最大邊，解方程a（1+x²）+2bx+c（1-x²）=0．

Answer 1

分析 利用余弦定理表示出cosA，分類討論A為鈍角，銳角以及直角，判斷cosA的正負，即可確定出方程的解．

解答 解：∵a為△ABC的最大邊，即A為最大角，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
當A為鈍角時，cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$＜0，即b²+c²-a²＜0，
方程整理得：（a-c）x²+2bx+a+c=0，
∵△=4b²-4（a+c）（a-c）=4b²-4a²+4c²=4（b²+c²-a²）＜0，
∴方程無解；
當A為銳角時，cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$＞0，即b²+c²-a²＞0，
方程整理得：（a-c）x²+2bx+a+c=0，
∵△=4b²-4（a+c）（a-c）=4b²-4a²+4c²=4（b²+c²-a²）＞0，
∴方程解為x=$\frac{-2b±2\sqrt{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}}{2（a-c）}$=$\frac{-b±\sqrt{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}}{a-c}$；
當A為直角時，cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=0，即b²+c²-a²=0，
方程整理得：（a-c）x²+2bx+a+c=0，
∵△=4b²-4（a+c）（a-c）=4b²-4a²+4c²=4（b²+c²-a²）=0，
∴方程解為x₁=x₂=$\frac{-b}{a-c}$．

點評 此題考查了余弦定理，以及根的判別式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．