Question

2．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$是兩個不共線的向量，且$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ）．
（1）求證：$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直；
（2）若α∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），β=$\frac{π}{4}$，且|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{\frac{16}{5}}$，求sinα．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的坐標運算與數(shù)量積為0，即可證明$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直；
（2）利用平面向量的數(shù)量積與模長公式，結(jié)合三角恒等變換與同角的三角函數(shù)關系，即可求出sinα的值．

解答 解：（1）證明：$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$是兩個不共線的向量，
且$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ），．
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），
$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=（cos²-cos²β）+（sin²α-sin²β）
=（cos²α+sin²α）-（cos²β+sin²β）
=1-1=0，
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直；
（2）∵${|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}^{2}$=（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²
=2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）
=2+2cos（α-β），
且β=$\frac{π}{4}$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{\frac{16}{5}}$，
∴2+2cos（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{16}{5}$，
解得cos（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$；
又α∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），
∴α-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{2}$，0），
∴sin（α-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{1{-cos}^{2}（α-\frac{π}{4}）}$=-$\frac{4}{5}$，
∴sinα=sin[（α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=sin（α-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（α-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$
=-$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長公式的應用問題，也考查了同角的三角函數(shù)關系與三角恒等變換的應用問題，是綜合性題目．